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ALMA MATER
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ISSN versión electrónica 1609-9036

Alma Mater    1998;  (15) : 121-130


LA FUNCIÓN DE PRODUCCIÓN Y LA MEDICIÓN DE PRODUCTIVIDAD

David Medianero Burga


La teoría de la función de producción brinda un contexto científico a la tarea de construcción de indicadores de productividad. Esta cobertura teórica alcanza a los niveles micro y macroeconómico. De la expresión matemática de la función de producción se pueden derivar y deducir prácticamente todas las fórmulas de productividad. Aquí radica precisamente el carácter axiomático de este enfoque.

Los métodos de medición de productividad que actualmente utilizan las

entidades públicas y privadas tienen como soporte conceptual a la teoría de la función de producción, aunque esto no significa adherir necesariamente o asumir todas las implicaciones de dicha teoría. Métodos tales como el de productividad parcial del capital, ganancias de productividad, etc., pueden ser deducidos a partir de la función de producción mediante un sencillo procedimiento lógico-aritmético.

En términos muy generales, una función de producción es una expresión matemática que muestra cómo los factores de producción se transforman en bienes y servicios, con indicación ex, presa de las cantidades de recursos y productos involucrados. La idea básica es, pues, de una sencillez absoluta: en cualquier proceso de producción, existe una relación o proporción entre la cantidad de recursos utilizados y la cantidad de productos obtenidos.

Un factor de producción es cualquier bien o servicio utilizado por la empresa para producir. Entre éstos se encuentran, el trabajo, la maquinaria, los edificios, los materiales como el acero y el caucho e, incluso, los útiles de oficina y la energía. El término "factor de producción" se utiliza en un sentido muy amplio, designando a cualquier cosa que intervenga en el proceso de producción, desde los altos directivos hasta los lapiceros y escritorios.

En sentido económico, producción equivale a transformación de una mercancía en algo considerado como "diferente" por parte de algunos consumidores, aunque no haya ningún cambio físico de la mercancía1 . Así, por ejemplo, para un residente en Perú, un automóvil situado en la fábrica de Toyota en Tokio, es "diferente" al mismo automóvil puesto en una tienda de Lima. Por esta razón el transporte del automóvil desde Tokio a Lima se considera una producción en un sentido amplio. Análogamente, actividades como el almacenamiento, la venta al por mayor y menor, el transporte colectivo, los servicios bancarios, etc., constituyen todas ellas formas de producción.

Desde una óptica estrictamente económica, lo relevante en la producción es que se emplean factores productivos y que la cantidad de producto obtenida está relacionada con la de factores o recursos. Existe, en suma, una relación entre los "in-puts" y los "out-puts".

Están definidos los términos factor de producción y producción. Veamos ahora qué es un proceso de producción. Para ello transcribimos casi textualmente la explicación de Lancaster (1977): si preguntáramos a un químico, un ingeniero o un cocinero cómo se hace un producto relativamente sencillo, nos daría como respuesta una expresión en cantidades de materias primas o ingredientes, así como tiempos y temperatura. Tales recetas, sin embargo, son incompletos desde el punto de vista del economista, en tanto que para producir, además, es necesario el trabajo, el capital (una máquina, por ejemplo) y el espacio o tierra, porque toda actividad tiene una localización física. A esta receta completa, que incluye a los factores productivos además de los, ingredientes o insumos, se conoce como proceso de producción.

El concepto de proceso de producción en 1a práctica da lugar y se asimila al de técnica de producción, que es un determinado proceso de producción en el cual se especifican de manera inequívoca los factores de producción, su lugar y rol exacto, en el proceso productivo. Según explica E. Ballestero, para que un proceso quede bien definido -y constituya como tal una técnica- no basta con enumerar los factores de producción que intervienen en ella. Hay que añadir de qué forma se utiliza el trabajo, y la cantidad y calidad de los factores. Basta con que se cambie significativamente uno de estos detalles, para cambie también la técnica de producción.

La palabra tecnología, por otra parte, se emplea en dos sentidos. El primero es como un simple sinónimo de técnica de producción. El segundo es todo lo contrario: mientras el concepto de técnica hace alusión a un proceso de producción muy específico, el de tecnología se refiere al conjunto de procesos de producción disponibles en la sociedad en un momento dado. La técnica es particular, la tecnología es general, de carácter más bien histórico-social.

Normalmente, las decisiones sobre qué, cómo, cuánto, y para quién producir se toman texto de funcionamiento de los mercados. Particularmente, las tres primeras cuestiones son resueltas en el ámbito estricto de la empresa, y atañen a lo que genéricamente se denomina como decisiones de producción de la empresa.


¿Qué producir?

Toda persona cuando incursiona en la actividad empresarial se plantea como cuestión inicial la elección del tipo de bien o servicio que va a producir. Como su objetivo no es "social", sino más bien orientado a la obtención del máximo beneficio posible; es razonable suponer que elegirá producir aquel bien cuya demanda sea perceptiblemente importante.

Este es el primer paso hacia la decisión inteligente en relación al tipo de producción que se elegirá. Y ésta es, en principio, la primera característica de un comportamiento empresarial eficaz. Atañe al problema que plantea la distribución de las cantidades existentes de los factores o recursos entre la producción de distintos bienes alternativos. Figura 1

Las distintas posibilidades de producción abiertas a esta empresa pueden ilustrarse gráficamente con la figura arriba adjunta, conocida como Curva de Transformación, o Frontera de Posibilidades de Producción.

El punto A supone que todos los recursos (por ejemplo, la tierra disponible) se emplea en la producción de arroz; el punto C, que todos los recursos se emplean en la producción de maíz; mientras que el punto B indica que los recursos se reparten entre ambas producciones. Al traspasar recursos de la producción de arroz a la de maíz se incrementará la producción de maíz a expensas de la de arroz. El arroz que deja de producirse se denomina costo de oportunidad. El traspaso de recursos como éste, se denomina relación marginal de transformación entre arroz maíz.

¿Cómo producir?

Para ilustrar el tema de determinación de producción, hicimos una suposición bastante gruesa: existencia de un solo factor de producción y solo dos bienes. Ahora, para ilustrar el problema de la técnica de producción, asumiremos el supuesto contrario: dos factores de producción y un tipo de bien. Consideremos la existencia de los dos procesos de producción siguientes: Figura 2

Utilización de dos hombres y una máquina para la obtención de una tonelada del producto P.

Utilización de un hombre y dos máquinas para la obtención, igualmente, de una tonelada del producto P.

Obsérvese que el empleo de procesos diferentes, o de diferentes combinaciones de factores, para obtener una producción dada, significa que podemos obtener dicha producción combinando los recursos o factores en proporciones diferentes. Al unir mediante una línea los puntos que representan estas combinaciones se obtiene la denominada curva de isocuantas.

En este contexto, se denomina relación marginal de sustitución entre factores (RMSF), al cociente entre el aumento de un factor que es necesario realizar al disminuir la aplicación, de otro de modo que la producción total permanezca constante.


¿Cuánto producir?

Una vez elegido el bien o servicio a ser producido y la combinación de recursos pertinente, una empresa debe decidir su nivel de producción y las condiciones de la demanda.

El cuadro adjunto ilustra esta decisión. Muestra los precios a los que la empresa puede vender su producto. Esta es la curva de demanda. Dados estos precios y la producción, se puede calcular el ingreso total de la empresa derivado de la venta de diferentes cantidades de productos a la semana. El cuadro también incluye -la columna 4- el costo correspondiente a cada nivel de producción. En la última columna se muestra la diferencia entre el ingreso y el costo; es decir, el beneficio de la empresa. Tabla 1

Para elegir el nivel óptimo de producción, la empresa determina el volumen al cual corresponden los beneficios más altos.


La Función de Producción

Una función de producción es una relación que especifica la cantidad de producto que se obtiene con una combinación dada de factores de producción. Así como la curva de transformación refleja la relación producto-producto, y la curva de isocuantas la relación factor-factor, la función de producción muestra la relación factor-producto.

La expresión matemática de este concepto toma el volumen de producto como variable dependiente y como variables independientes a las cantidades de factores de producción utilizadas.

Donde L y K son el trabajo, y el capital, respectivamente. Consideremos a A por lo pronto como un simple parámetro.

En realidad, esta fórmula es la abstracción algebraica de una situación que en detalle (aunque no exhaustivamente) podrá ser representada por una tabla de doble entrada, en la que se consignen las cantidades de cada factor utilizado y la producción obtenida de cada caso. Tabla 2

Por último, esta tabla se puede representar un poco menos exhaustivamente mediante una curva en un plano bidimensional.

Si, dada la antedicha tabla de doble entrada, deseáramos especificar la función de producción, mediante los conocidos procedimientos de álgebra y cálculo, obtendríamos:

Conocida esta función, se puede suponer cualesquiera otros valores para L y K se obtendría el correspondiente resultado de producción. Figura 3

Por ejemplo: si L = 2 y K = 2

Todo el razonamiento anterior, sin embargo, se da bajo el supuesto de que se pueden incrementar todos los factores de producción (simplificadamente: trabajo y capital). Este es el enfoque de largo plazo, caracterizado por asumir el supuesto de que todos los factores son variables. Por el contrario, en el enfoque de corto plazo, se asume que algún factor de producción permanece fijo.


Propiedades Económicas

Bajo un enfoque de corto plazo, la función de producción presenta cinco propiedades económicas importantes. A saber, productividad media, productividad marginal, elasticidad, máximo técnico y máximo económico.

Normalmente, bajo este enfoque, la función de producción indica el volumen de producción que se obtiene con cada unidad del factor trabajo, cuando la cantidad de capital permanece constante. A dicho volumen de producción se le denomina simplemente producción, aunque algunos autores también lo denominan "productividad total".

Sea por ejemplo, la función de producción siguiente:

La productividad media del trabajo, se halla como el cociente de la producción y la cantidad del factor trabajo (L) utilizada:

 

La productividad marginal se hallará tomando la derivada de la producción con respecto al factor trabajo; es decir, constituye el incremento del volumen de producción resultante al aumentar
en una unidad el factor trabajo.

La elasticidad de la producción, en este contexto, se define como el cambio porcentual de la producción con respecto al cambio porcentual del factor trabajo.

 

Puede existir una elasticidad unitaria (E = l), así como una producción elástica (E> 1) y una producción inelástica (E<1); todo ello con respecto a la variación del factor trabajo.

El máximo técnico es concebido como el máximo nivel de producción que se puede obtener al ir aumentando las cantidades del factor trabajo, después de lo cual la producción puede permanecer constante o bien disminuir. Se calcula igualando la productividad marginal del trabajo a cero.

El óptimo económico, se define como el nivel de producción en el que la empresa obtiene al máximo de beneficio. Para calcular el óptimo económico se deben considerar los precios de los productos y de los insumos. El óptimo económico se calcula igualando la productividad marginal del trabajo a la relación de precios del factor y el producto.

Suponiendo un precio del producto de S/. 8 y del insumo de mano de obra de S/. 2.

Reemplazando este dato en la función original se obtiene el óptimo económico:

Fuentes del Crecimiento

La función de producción permite estudiar e incluso cuantificar las fuentes del crecimiento económico de la empresa. Permite, asimismo, estimar la contribución de la productividad a dicho crecimiento. Por crecimiento económico entenderemos, aquí el crecimiento de la producción física o volumen de producción de la empresa. (El enfoque es utilizado en microeconomía para estimar las fuentes del crecimiento económico de un país, así como el rol de la productividad en el mismo).


Cambio de técnica

La ecuación que representa la función de producción es: 

donde X es el volumen de producción, K y L son las cantidades utilizadas de capital y trabajo y A es el factor paramétrico que representa a la productividad.

Hasta ahora sólo hemos remarcado el hecho de que la producción depende de las cantidades de los factores, hallando la productividad de éstos como derivado y por cociente. Esto es matemáticamente correcto, pero no es económicamente posible. En términos económicos el elemento paramétrico A representa las condiciones técnicas e institucionales bajo las que se desenvuelve el proceso de producción. Incluye, por lo tanto, a la calidad de los factores, la organización del trabajo, la asignación más o menos eficiente de los recursos y el entorno sociocultural.

Además, como es imposible en la práctica considerar en la función de producción a los diversos factores que intervienen en el proceso, muchos de ellos no pueden estudiarse independientemente y han de permanecer "ocultos" en la función, actuando veladamente sobre ella a través del elemento paramétrico. En consecuencia, este elemento paramétrico no es un elemento derivado, sino que es junto a la cantidad de factores, una de las fuentes del crecimiento de la producción.

Ahora bien, existe cambio de técnica cuando:

  • Se suprime, adiciona o sustituye algún factor de producción.

  • Varia la calidad de algún factor.

  • Varia la organización del proceso productivo y la asignación de los recursos.


Fuentes del Crecimiento

Bajo las consideraciones antes expuestas, y siempre en el marco de la función de producción, la producción es determinada por la cantidad de factores y la productividad.

En consecuencia, los aumentos de factores y de la productividad de los mismos conducen a un aumento de la oferta de un producto.

Para hacer más precisas estas relaciones -siguiendo a Robert Solow- especificando una función de producción.

Esta ecuación nos indica que la producción es igual a la productividad (A), expresada como índice de capital (K) y el trabajo (L). Las ponderaciones b y 1-b suman la unidad y representan la elasticidad de la producción ante un incremento de cualquier insumo. También representan la participación del trabajo y el capital en la distribución del ingreso que genera la producción.

Ejemplo: Si todas las variables fueran inicialmente índices iguales: a = 1,0 y b = 0,25, tenemos que un incremento del 4% del insumo trabajo, causa un aumento del 3% en la producción.

Después del incremento del 4% en trabajo:

Así, la elasticidad de la producción frente a un cambio en el insumo trabajo es 0,75 (= ¾)


Tasas de Crecimiento

Hasta ahora la función de producción ha permitido describir cambios en el nivel de X como respuesta a cambios en A, K y N. Pero, ¿qué, determina la tasa de crecimiento de la producción-

La regla señala que la tasa de crecimiento de un producto de diversas variables es la sumatoria de las tasas de crecimiento de cada componente:

tomamos logaritmos:

Luego, obtenemos la derivada de cada logaritmo con respecto al tiempo:

Si recordamos la convención de usar letras minúsculas para designar la tasa de crecimiento porcentual de una variable; osea, la derivada de su logaritmo con respecto al tiempo, obtenemos:

En conclusión, la tasa de crecimiento de la producción es igual a la tasa de crecimiento de la productividad más el promedio ponderado del crecimiento del capital y el trabajo, con sus respectivas ponderaciones.

NOTA

1 Definición tomada de Lancaster (1973).

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